داخل منطق "المنتجات" والمساواة في نظرية المجموعات

جدول الروابط

ملخص

1. شكر وتقدير ومقدمة

2. الخصائص العامة

3. المنتجات في الممارسة العملية

4. الخصائص العامة في الهندسة الجبرية

5. المشكلة مع استخدام غروثنديك للمساواة

6. المزيد عن الخرائط "القانونية"

7. التشابهات القانونية في الرياضيات المتقدمة

8. ملخص والمراجع

الخصائص العامة

أنا على دراية بثلاث فئات معقولة من أسس الرياضيات: تلك القائمة على نظرية المجموعات، وتلك القائمة على نظرية الأنواع، وتلك القائمة على نظرية الفئات. هناك أيضًا نتائج مختلفة تقول إنه، بشكل عام، هذه الأسس قادرة على إثبات نفس النظريات. ومع ذلك، لإجراء مناقشة حول المساواة، سيتعين علينا تحديد ما نتحدث عنه بالضبط، ولذلك سأختار نظرية المجموعات ZFC والمنطق الكلاسيكي كأساس لمناقشتنا.1

أساس هذا القرار ببساطة هو أنه إذا حضر عالم رياضيات يومًا ما فصلًا حول الأسس المنطقية لموضوعه (والعديد منهم لم يفعلوا ذلك)، فمن المحتمل أن يكون فصلًا في نظرية المجموعات. علاوة على ذلك، تُكتب أدبيات الرياضيات البحتة بأسلوب نظري للمجموعات بشكل سطحي: يُقال لنا أن المجموعة هي مجموعة ذات بعض الهياكل والبديهيات، والمتنوع هو مجموعة ذات هيكل وبديهيات مختلفة، وهكذا. هنا كلمة "مجموعة" هي مجرد عنصر نائب لفكرة "مجموعة من الذرات".

من الواضح أن المجموعتين المتساويتين لهما نفس العناصر؛ وهذا يتبع من ما يسمى بمبدأ الاستبدال للمساواة، الذي ينص على أنه إذا كان X و Y أي كائنين رياضيين متساويين، فإن أي ادعاء يمكنك تقديمه في نظامك الأساسي حول X صحيح أيضًا بالنسبة لـ Y. العكس، وهو أن مجموعتين لهما نفس العناصر متساويتان، يُفرض كبديهية للنظرية. هذا يضمن أن المفهوم المجرد للمجموعة يتوافق مع نموذجنا العقلي لما يمثله: المجموعة ليست أكثر ولا أقل من مجموعة من الأشياء.

الآن أود أن أبدأ مناقشة الخصائص التي تميز بشكل فريد كائنًا رياضيًا. دعنا نبدأ بمثال: حاصل ضرب X × Y لمجموعتين X و Y. دعني أحذر القارئ الآن أنني في الفقرات القليلة القادمة سأقوم بتمييز دقيق جدًا بين مفهوم حاصل ضرب X و Y، ومفهوم حاصل ضرب X و Y. يُعرَّف حاصل ضرب X × Y لمجموعتين بأنه مجموعة من الأزواج المرتبة (x, y) حيث x ∈ X و y ∈ Y (يمكن التحقق باستخدام بديهيات نظرية المجموعات أنه من الممكن إنشاء هذه المجموعة).

لاحظ أننا نواجه هنا نفس المشكلة التي رأيناها سابقًا مع الأعداد الحقيقية: هناك عدة طرق متميزة لتعريف مفهوم الزوج المرتب في نظرية المجموعات. تم تصميم نظرية المجموعات بشكل جيد جدًا للعمل مع الأزواج غير المرتبة: المجموعات {x, y} و {y, x} لها نفس العناصر وبالتالي متساوية، لذلك لتعريف زوج مرتب يحتاج المرء إلى استخدام نوع من الحيل.

تقدم صفحة ويكيبيديا للأزواج المرتبة [Wik04b] حاليًا ثلاثة بناءات متميزة، بسبب وينر ({{{x}, ∅}, {{y}}}), هاوسدورف ({{x, 1}, {y, 2}}) وكوروتوسكي ({{x}, {x, y}}); كلها تبدو مصطنعة قليلاً.2 مرة أخرى، يدرك علماء الرياضيات جيدًا أن هذه المسألة لا تهم على الإطلاق في الممارسة العملية: كل ما نحتاج إلى معرفته هو الخاصية المحددة للأزواج المرتبة، وهي أن (x1, y1) = (x2, y2) ⇐⇒ x1 = x2 و y1 = y2؛ هذا كل ما سنحتاجه، وجميع التعريفات تلبي هذه الخاصية.

يتم تجهيز المنتج X × Y بخريطتي إسقاط π1 : X × Y → X و π2 : X × Y → Y. بدقة، ليس فقط المنتج، ولكن الثلاثي (X × Y, π1, π2) الذي يلبي الخاصية العامة التالية:

الخاصية العامة للمنتجات: يُسمى الثلاثي (P, π1 : P → X, π2 : P → Y) منتجًا لـ X و Y إذا كان يلبي الخاصية التالية: إذا كانت S أي مجموعة على الإطلاق، و f : S → X و g : S → Y دوال، فهناك دالة فريدة من S إلى P بحيث يكون تركيبها مع π1 هو f وتركيبها مع π2 هو g.

الخاصية العامة ليست تعريفًا لمنتج مجموعتين؛ يمكن اعتبارها حقائق لا نهائية يجب أن يلبيها المنتج (واحدة لكل اختيار من المجموعة S والدوال f و g). ليس من الصعب التحقق من أن منتج X × Y لـ X و Y، مجهزًا بالإسقاطات الطبيعية، هو منتج. لكن العكس ليس صحيحًا على الإطلاق: هناك عادة الكثير من الثلاثيات الأخرى (P, π1, π2) التي تلبي خاصية كونها منتجًا دون أن تكون المنتج.

على سبيل المثال، إذا كان X = {37} و Y = {42} فإن المنتج X × Y هو {(37, 42)}، ولكن في الواقع أي مجموعة P بعنصر واحد، مجهزة بـ π1 : P → X ترسل كل شيء إلى 37 و π2 : P → Y ترسل كل شيء إلى 42، تلبي الخاصية العامة لكونها منتجًا. على وجه الخصوص، هناك بشكل عام عدد لا يحصى من الأشياء المختلفة التي تلبي خاصية كونها منتجًا. ومع ذلك، فإن علماء الرياضيات جيدون جدًا في تحديد هذه الأشياء المختلفة؛ فهي "نفسها" بطريقة تتجاوز الاستخدام الصحيح لرمز =. يمكننا القيام بذلك بسبب يوغا التفرد للكائنات العامة. دعنا نمر بهذه اليوغا، وهي قطعة من الهراء الفئوي النظري الرسمي، في حالة المنتجات.

لنفترض أن P1 و P2 كلاهما منتج لـ X و Y. تطبيق جزء الوجود من الخاصية العامة لـ P2 (مع إسقاطاتها إلى X و Y) على المجموعة S = P1 (مع إسقاطاتها إلى X و Y) يعطينا دالة α : P1 → P2 تتبادل مع الإسقاطات إلى X و Y. بتبديل 1 و 2 في الحجة يمكننا أيضًا بناء دالة β : P2 → P1 تتبادل مع الإسقاطات. علاوة على ذلك، β ◦ α هي خريطة من P1 إلى P1 تتبادل مع الإسقاطات، كما هي دالة الهوية؛ من خلال جزء التفرد من الخاصية العامة لـ P1 المطبقة على P1 نستنتج أن β ◦ α يجب أن تكون خريطة الهوية على P1؛ وبالمثل، يجب أن تكون α ◦ β خريطة الهوية على P2.

وبالتالي فإن α و β هما تناظران يتبادلان مع خرائط الإسقاط. أخيرًا، باستخدام جزء التفرد من الخاصية العامة لـ P2 المطبقة على P1 يخبرنا أن α هي الخريطة الفريدة من P1 إلى P2 التي تتبادل مع الإسقاطات، وبالتناظر β هي الخريطة الفريدة من P2 إلى P1 التي تتبادل مع الإسقاطات. النتيجة من هذا الهراء المجرد (الذي لم يذكر أبدًا عناصر أي مجموعات، فقط الكائنات والتشكلات) هي أن هناك تناظرات متبادلة فريدة بين P1 و P2 تتبادل مع الإسقاطات إلى العوامل X و

Y. على وجه الخصوص، إذا كان P منتجًا لـ X و Y فهو متماثل بشكل فريد مع منتج X × Y لـ X و Y بطريقة متوافقة مع الإسقاطات. في مثالنا ذي العنصر الواحد X = {37} و Y = {42}، إذا كانت P أي مجموعة بعنصر واحد، فإن الخريطة الفريدة من P إلى X × Y ترسل بالطبع العنصر إلى (37, 42).

:::info المؤلف: كيفن بوزارد

:::

:::info هذه الورقة متاحة على arxiv تحت ترخيص CC BY 4.0 DEED.

:::

\