Dentro de la Lógica de "Productos" e Igualdad en la Teoría de Conjuntos

Tabla De Enlaces

Resumen

1. Agradecimientos e Introducción

2. Propiedades universales

3. Productos en la práctica

4. Propiedades universales en geometría algebraica

5. El problema con el uso de igualdad de Grothendieck

6. Más sobre mapas "canónicos"

7. Isomorfismos canónicos en matemáticas más avanzadas

8. Resumen y Referencias

Propiedades Universales

Conozco tres clases razonables de fundamentos para las matemáticas: aquellos basados en la teoría de conjuntos, aquellos basados en la teoría de tipos y aquellos basados en la teoría de categorías. También hay varios resultados que indican que, en términos generales, estos fundamentos pueden demostrar los mismos teoremas. Sin embargo, para que tenga lugar una discusión sobre la igualdad, tendremos que precisar exactamente de qué estamos hablando, por lo que elegiré la teoría de conjuntos ZFC y la lógica clásica como base para nuestra discusión.1

La base para esta decisión es simplemente que si un matemático alguna vez asistió a una clase sobre los fundamentos lógicos de su materia (y muchos de ellos no lo hicieron), probablemente habría sido una clase de teoría de conjuntos. Además, la literatura de matemáticas puras está escrita en un estilo superficialmente teórico de conjuntos: se nos dice que un grupo es un conjunto con cierta estructura y axiomas, una variedad es un conjunto con una estructura y axiomas diferentes, y así sucesivamente. Aquí la palabra "conjunto" es solo un marcador de posición para la idea de una "colección de átomos".

Es obvio que dos conjuntos que son iguales tienen los mismos elementos; esto se deriva del llamado principio de sustitución para la igualdad, que establece que si X e Y son dos objetos matemáticos cualesquiera que son iguales, entonces cualquier afirmación que puedas hacer en tu sistema fundamental sobre X también es cierta para Y. El inverso, que dos conjuntos con los mismos elementos son iguales, se impone como un axioma de la teoría. Esto asegura que el concepto abstracto de un conjunto coincida con nuestro modelo mental de lo que está representando: un conjunto no es ni más ni menos que una colección de cosas.

Ahora me gustaría comenzar la discusión de propiedades que caracterizan de manera única a un objeto matemático. Comencemos con un ejemplo: el producto X × Y de dos conjuntos X e Y. Permítanme advertir al lector ahora que en los próximos párrafos haré una distinción muy cuidadosa entre el concepto del producto de X e Y, y el concepto de un producto de X e Y. El producto X × Y de dos conjuntos se define como el conjunto de pares ordenados (x, y) con x ∈ X e y ∈ Y (se puede verificar usando los axiomas de la teoría de conjuntos que es posible crear este conjunto).

Observe que aquí nos encontramos con el mismo problema que vimos anteriormente con los números reales: hay varias formas distintas de definir el concepto de un par ordenado en la teoría de conjuntos. La teoría de conjuntos está muy bien diseñada para trabajar con pares no ordenados: los conjuntos {x, y} y {y, x} tienen los mismos elementos y, por lo tanto, son iguales, por lo que para definir un par ordenado es necesario utilizar algún tipo de truco.

La página de Wikipedia para pares ordenados [Wik04b] actualmente ofrece tres construcciones distintas, debidas a Wiener ({{{x}, ∅}, {{y}}}), Hausdorff ({{x, 1}, {y, 2}}) y Kurotowski ({{x}, {x, y}}); todas tienen el aire de ser ligeramente artificiales.2 Nuevamente, los matemáticos son muy conscientes de que este problema no importa en absoluto en la práctica: todo lo que necesitamos saber es la propiedad definitoria de los pares ordenados, que es que (x1, y1) = (x2, y2) ⇐⇒ x1 = x2 y y1 = y2; esto es todo lo que necesitaremos, y todas las definiciones satisfacen esta propiedad.

El producto X × Y está equipado con dos mapas de proyección π1 : X × Y → X y π2 : X × Y → Y. Estrictamente hablando, no es solo el producto, sino la triple (X × Y, π1, π2) la que satisface la siguiente propiedad universal:

La propiedad universal de productos: Una triple (P, π1 : P → X, π2 : P → Y) se llama un producto de X e Y si satisface la siguiente propiedad: si S es cualquier conjunto, y f : S → X y g : S → Y son funciones, entonces existe una única función de S a P tal que su composición con π1 es f y su composición con π2 es g.

La propiedad universal no es una definición del producto de dos conjuntos; puede considerarse como infinitos hechos que un producto debe satisfacer (uno para cada elección del conjunto S y las funciones f y g). No es difícil verificar que el producto X × Y de X e Y, equipado con las proyecciones naturales, es un producto. Pero lo contrario no es cierto en absoluto: típicamente hay muchas otras triples (P, π1, π2) que satisfacen la propiedad de ser un producto sin ser el producto.

Por ejemplo, si X = {37} e Y = {42}, entonces el producto X × Y es {(37, 42)}, pero de hecho cualquier conjunto P con un elemento, equipado con π1 : P → X enviando todo a 37 y π2 : P → Y enviando todo a 42, satisface la propiedad universal de ser un producto. En particular, en general hay incontables cosas diferentes que satisfacen la propiedad de ser un producto. Sin embargo, los matemáticos son extremadamente buenos identificando estas diferentes cosas; son "lo mismo" de una manera que trasciende el uso correcto del símbolo =. Podemos hacerlo debido al yoga de unicidad para objetos universales. Repasemos este yoga, que es una pieza de sinsentido formal teórico-categórico, en el caso de los productos.

Digamos que P1 y P2 son ambos un producto para X e Y. Aplicando la parte de existencia de la propiedad universal para P2 (con sus proyecciones a X e Y) al conjunto S = P1 (con sus proyecciones a X e Y) nos da una función α : P1 → P2 que conmuta con las proyecciones a X e Y. Intercambiando los 1s y 2s en el argumento, también podemos construir una función β : P2 → P1 que conmuta con las proyecciones. Además, β ◦ α es un mapa de P1 a P1 que conmuta con las proyecciones, al igual que la función identidad; por la parte de unicidad de la propiedad universal de P1 aplicada a P1, deducimos que β ◦ α debe ser el mapa identidad en P1; de manera similar, α ◦ β debe ser el mapa identidad en P2.

Por lo tanto, α y β son biyecciones que conmutan con los mapas de proyección. Finalmente, usando la parte de unicidad de la propiedad universal para P2 aplicada a P1 nos dice que α es el único mapa de P1 a P2 que conmuta con las proyecciones, por simetría β es el único mapa de P2 a P1 que conmuta con las proyecciones. El resultado de este sinsentido abstracto (que nunca mencionó elementos de ningún conjunto, solo objetos y morfismos) es que hay biyecciones mutuamente inversas únicas entre P1 y P2 que conmutan con las proyecciones a los factores X e

Y. En particular, si P es un producto de X e Y, entonces es únicamente isomorfo al producto X × Y de X e Y de una manera compatible con las proyecciones. En nuestro ejemplo de un elemento X = {37} e Y = {42}, si P es cualquier conjunto de un elemento, entonces el mapa único de P a X × Y por supuesto envía el elemento a (37, 42).

:::info Autor: KEVIN BUZZARD

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:::info Este artículo está disponible en arxiv bajo la licencia CC BY 4.0 DEED.

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