À l'intérieur de la logique des "produits" et de l'égalité dans la théorie des ensembles

Table Des Liens

Résumé

1. Remerciements & Introduction

2. Propriétés universelles

3. Produits en pratique

4. Propriétés universelles en géométrie algébrique

5. Le problème avec l'utilisation de l'égalité par Grothendieck

6. Plus sur les applications "canoniques"

7. Isomorphismes canoniques dans les mathématiques plus avancées

8. Résumé et références

Propriétés Universelles

Je connais trois classes raisonnables de fondements pour les mathématiques : celles basées sur la théorie des ensembles, celles basées sur la théorie des types, et celles basées sur la théorie des catégories. Il existe également divers résultats indiquant que, globalement, ces fondements sont capables de prouver les mêmes théorèmes. Cependant, pour qu'une discussion sur l'égalité ait lieu, nous devrons préciser exactement de quoi nous parlons, et je choisirai donc la théorie des ensembles ZFC et la logique classique comme base pour notre discussion.1

La base de cette décision est simplement que si un mathématicien a déjà assisté à un cours sur les fondements logiques de sa discipline (et beaucoup ne l'ont pas fait), il s'agissait probablement d'un cours de théorie des ensembles. De plus, la littérature mathématique pure est écrite dans un style superficiellement ensembliste : on nous dit qu'un groupe est un ensemble avec une certaine structure et des axiomes, une variété est un ensemble avec une structure et des axiomes différents, et ainsi de suite. Ici, le mot "ensemble" n'est qu'un substitut pour l'idée d'une "collection d'atomes".

Il est évident que deux ensembles qui sont égaux ont les mêmes éléments ; cela découle du principe dit de substitution pour l'égalité, qui stipule que si X et Y sont deux objets mathématiques quelconques qui sont égaux, alors toute affirmation que vous pouvez faire dans votre système fondamental à propos de X est également vraie pour Y. La réciproque, selon laquelle deux ensembles ayant les mêmes éléments sont égaux, est imposée comme un axiome de la théorie. Cela garantit que le concept abstrait d'ensemble coïncide avec notre modèle mental de ce qu'il représente : un ensemble n'est ni plus ni moins qu'une collection de choses.

Maintenant, j'aimerais commencer la discussion sur les propriétés qui caractérisent de manière unique un objet mathématique. Commençons par un exemple : le produit X × Y de deux ensembles X et Y. Je tiens à prévenir le lecteur que dans les prochains paragraphes, je ferai une distinction très précise entre le concept du produit de X et Y, et le concept d'un produit de X et Y. Le produit X × Y de deux ensembles est défini comme l'ensemble des paires ordonnées (x, y) avec x ∈ X et y ∈ Y (on peut vérifier en utilisant les axiomes de la théorie des ensembles qu'il est possible de créer cet ensemble).

Notez qu'ici nous rencontrons le même problème que nous avons vu précédemment avec les nombres réels : il existe plusieurs façons distinctes de définir le concept de paire ordonnée en théorie des ensembles. La théorie des ensembles est très bien conçue pour travailler avec des paires non ordonnées : les ensembles {x, y} et {y, x} ont les mêmes éléments et sont donc égaux, donc pour définir une paire ordonnée, il faut utiliser une sorte d'astuce.

La page Wikipédia pour les paires ordonnées [Wik04b] donne actuellement trois constructions distinctes, dues à Wiener ({{{x}, ∅}, {{y}}}), Hausdorff ({{x, 1}, {y, 2}}) et Kurotowski ({{x}, {x, y}}); toutes ont l'air d'être légèrement artificielles.2 Encore une fois, les mathématiciens sont bien conscients que ce problème n'a aucune importance en pratique : tout ce que nous devons savoir est la propriété définissante des paires ordonnées, qui est que (x1, y1) = (x2, y2) ⇐⇒ x1 = x2 et y1 = y2 ; c'est tout ce dont nous aurons besoin, et toutes les définitions satisfont cette propriété.

Le produit X × Y est équipé de deux applications de projection π1 : X × Y → X et π2 : X × Y → Y. À proprement parler, ce n'est pas seulement le produit, mais le triplet (X × Y, π1, π2) qui satisfait la propriété universelle suivante :

La propriété universelle des produits : Un triplet (P, π1 : P → X, π2 : P → Y) est appelé un produit de X et Y s'il satisfait la propriété suivante : si S est un ensemble quelconque, et f : S → X et g : S → Y sont des fonctions, alors il existe une unique fonction de S vers P telle que sa composition avec π1 soit f et sa composition avec π2 soit g.

La propriété universelle n'est pas une définition du produit de deux ensembles ; elle peut être considérée comme une infinité de faits qu'un produit doit satisfaire (un pour chaque choix d'ensemble S et de fonctions f et g). Il n'est pas difficile de vérifier que le produit X × Y de X et Y, équipé des projections naturelles, est un produit. Mais la réciproque n'est pas du tout vraie : il y a généralement beaucoup d'autres triplets (P, π1, π2) qui satisfont la propriété d'être un produit sans être le produit.

Par exemple, si X = {37} et Y = {42}, alors le produit X × Y est {(37, 42)}, mais en fait n'importe quel ensemble P avec un élément, équipé de π1 : P → X envoyant tout sur 37 et π2 : P → Y envoyant tout sur 42, satisfait la propriété universelle d'être un produit. En particulier, il existe en général un nombre non dénombrable de choses différentes qui satisfont la propriété d'être un produit. Cependant, les mathématiciens sont extrêmement habiles à identifier ces différentes choses ; elles sont "les mêmes" d'une manière qui transcende l'utilisation correcte du symbole =. Nous pouvons le faire grâce au yoga de l'unicité pour les objets universels. Parcourons ce yoga, qui est un morceau de non-sens formel de théorie des catégories, dans le cas des produits.

Supposons que P1 et P2 sont tous deux un produit pour X et Y. En appliquant la partie existence de la propriété universelle pour P2 (avec ses projections vers X et Y) à l'ensemble S = P1 (avec ses projections vers X et Y), nous obtenons une fonction α : P1 → P2 commutant avec les projections vers X et Y. En échangeant les 1 et les 2 dans l'argument, nous pouvons également construire une fonction β : P2 → P1 commutant avec les projections. De plus, β ◦ α est une application de P1 vers P1 commutant avec les projections, tout comme la fonction identité ; par la partie unicité de la propriété universelle de P1 appliquée à P1, nous déduisons que β ◦ α doit être l'application identité sur P1 ; de même, α ◦ β doit être l'application identité sur P2.

Par conséquent, α et β sont des bijections commutant avec les applications de projection. Enfin, en utilisant la partie unicité de la propriété universelle pour P2 appliquée à P1, nous constatons que α est l'unique application de P1 vers P2 qui commute avec les projections, et par symétrie, β est l'unique application de P2 vers P1 qui commute avec les projections. Le résultat de ce non-sens abstrait (qui n'a jamais mentionné d'éléments d'ensembles, seulement des objets et des morphismes) est qu'il existe des bijections mutuellement inverses uniques entre P1 et P2 qui commutent avec les projections vers les facteurs X et

Y. En particulier, si P est un produit de X et Y, alors il est uniquement isomorphe au produit X × Y de X et Y d'une manière compatible avec les projections. Dans notre exemple à un élément X = {37} et Y = {42}, si P est un ensemble à un élément, alors l'unique application de P vers X × Y envoie bien sûr l'élément sur (37, 42).

:::info Auteur : KEVIN BUZZARD

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:::info Cet article est disponible sur arxiv sous licence CC BY 4.0 DEED.

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