Всередині логіки "добутків" та рівності в теорії множин

Таблиця посилань

Анотація

1. Подяки та вступ

2. Універсальні властивості

3. Добутки на практиці

4. Універсальні властивості в алгебраїчній геометрії

5. Проблема з використанням рівності Гротендіком

6. Більше про "канонічні" відображення

7. Канонічні ізоморфізми в більш просунутій математиці

8. Підсумок та посилання

Універсальні властивості

Я знаю про три розумні класи основ математики: ті, що базуються на теорії множин, ті, що базуються на теорії типів, і ті, що базуються на теорії категорій. Існують також різні результати, які говорять, що, загалом кажучи, ці основи здатні доводити одні й ті самі теореми. Однак для обговорення рівності нам доведеться точно визначити, про що ми говоримо, тому я оберу теорію множин ZFC і класичну логіку як основу для нашого обговорення.1

Основою для цього рішення є просто те, що якщо математик коли-небудь відвідував заняття з логічних основ свого предмета (а багато з них цього не робили), то, ймовірно, це був курс теорії множин. Крім того, література з чистої математики написана в поверхнево теоретико-множинному стилі: нам кажуть, що група - це множина з певною структурою та аксіомами, многовид - це множина з іншою структурою та аксіомами тощо. Тут слово "множина" є лише заповнювачем для ідеї "колекції атомів".

Очевидно, що дві множини, які рівні, мають однакові елементи; це випливає з так званого принципу підстановки для рівності, який стверджує, що якщо X і Y - будь-які два математичні об'єкти, які рівні, то будь-яке твердження, яке ви можете зробити у своїй фундаментальній системі про X, також є істинним для Y. Зворотне твердження, що дві множини з однаковими елементами рівні, накладається як аксіома теорії. Це забезпечує, що абстрактне поняття множини збігається з нашою ментальною моделлю того, що вона представляє: множина - це не більше і не менше, ніж колекція речей.

Тепер я хотів би почати обговорення властивостей, які однозначно характеризують математичний об'єкт. Почнемо з прикладу: добуток X × Y двох множин X і Y. Дозвольте мені попередити читача, що в наступних кількох абзацах я буду робити дуже ретельне розрізнення між поняттям добутку X і Y та поняттям добутку X і Y. Добуток X × Y двох множин визначається як множина впорядкованих пар (x, y) з x ∈ X і y ∈ Y (можна перевірити, використовуючи аксіоми теорії множин, що можливо створити цю множину).

Зауважте, що тут ми стикаємося з тією ж проблемою, яку ми бачили раніше з дійсними числами: існує кілька різних способів визначення поняття впорядкованої пари в теорії множин. Теорія множин дуже добре розроблена для роботи з невпорядкованими парами: множини {x, y} і {y, x} мають однакові елементи і, отже, рівні, тому для визначення впорядкованої пари потрібно використовувати якийсь хак.

Сторінка Вікіпедії про впорядковані пари [Wik04b] наразі дає три різні конструкції, завдяки Вінеру ({{{x}, ∅}, {{y}}}), Хаусдорфу ({{x, 1}, {y, 2}}) і Куратовському ({{x}, {x, y}}); усі вони мають вигляд дещо штучних.2 Знову ж таки, математики добре усвідомлюють, що ця проблема взагалі не має значення на практиці: все, що нам потрібно знати, це визначальна властивість впорядкованих пар, яка полягає в тому, що (x1, y1) = (x2, y2) ⇐⇒ x1 = x2 і y1 = y2; це все, що нам потрібно, і всі визначення задовольняють цю властивість.

Добуток X × Y оснащений двома проекційними відображеннями π1 : X × Y → X і π2 : X × Y → Y. Строго кажучи, це не просто добуток, а трійка (X × Y, π1, π2), яка задовольняє наступну універсальну властивість:

Універсальна властивість добутків: Трійка (P, π1 : P → X, π2 : P → Y) називається добутком X і Y, якщо вона задовольняє наступну властивість: якщо S - будь-яка множина, а f : S → X і g : S → Y - функції, то існує єдина функція з S в P така, що її композиція з π1 є f, а її композиція з π2 є g.

Універсальна властивість не є визначенням добутку двох множин; її можна розглядати як нескінченно багато фактів, які повинен задовольняти добуток (по одному для кожного вибору множини S і функцій f і g). Неважко перевірити, що добуток X × Y множин X і Y, оснащений природними проекціями, є добутком. Але зворотне зовсім не вірно: зазвичай існує багато інших трійок (P, π1, π2), які задовольняють властивість бути добутком, не будучи добутком.

Наприклад, якщо X = {37} і Y = {42}, то добуток X × Y є {(37, 42)}, але насправді будь-яка множина P з одним елементом, оснащена π1 : P → X, що відправляє все в 37, і π2 : P → Y, що відправляє все в 42, задовольняє універсальну властивість бути добутком. Зокрема, загалом існує незліченно багато різних речей, які задовольняють властивість бути добутком. Однак математики надзвичайно добре вміють ідентифікувати ці різні речі; вони "однакові" у спосіб, який виходить за межі правильного використання символу =. Ми можемо це робити завдяки йозі унікальності для універсальних об'єктів. Давайте розглянемо цю йогу, яка є частиною формальної категорно-теоретичної нісенітниці, у випадку добутків.

Скажімо, P1 і P2 обидва є добутком для X і Y. Застосування частини існування універсальної властивості для P2 (з його проекціями на X і Y) до множини S = P1 (з її проекціями на X і Y) дає нам функцію α : P1 → P2, що комутує з проекціями на X і Y. Змінюючи 1 і 2 в аргументі, ми також можемо побудувати функцію β : P2 → P1, що комутує з проекціями. Крім того, β ◦ α є відображенням з P1 в P1, що комутує з проекціями, як і тотожна функція; за частиною унікальності універсальної властивості P1, застосованої до P1, ми виводимо, що β ◦ α повинно бути тотожним відображенням на P1; аналогічно, α ◦ β повинно бути тотожним відображенням на P2.

Отже, α і β є бієкціями, що комутують з проекційними відображеннями. Нарешті, використовуючи частину унікальності універсальної властивості для P2, застосованої до P1, ми бачимо, що α є єдиним відображенням з P1 в P2, яке комутує з проекціями, за симетрією β є єдиним відображенням з P2 в P1, яке комутує з проекціями. Результатом цієї абстрактної нісенітниці (яка ніколи не згадувала елементи жодних множин, лише об'єкти та морфізми) є те, що існують єдині взаємно обернені бієкції між P1 і P2, які комутують з проекціями на множники X і

Y. Зокрема, якщо P є добутком X і Y, то він однозначно ізоморфний добутку X × Y множин X і Y у спосіб, сумісний з проекціями. У нашому прикладі з одним елементом X = {37} і Y = {42}, якщо P - будь-яка множина з одним елементом, то єдине відображення з P в X × Y, звичайно, відправляє елемент в (37, 42).

:::info Автор: КЕВІН БАЗЗАРД

:::

:::info Ця стаття доступна на arxiv за ліцензією CC BY 4.0 DEED.

:::

\