集合論中「乘積」和相等性的邏輯探究

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摘要

1. 致謝與引言

2. 泛性質

3. 實踐中的積

4. 代數幾何中的泛性質

5. Grothendieck 使用等式的問題

6. 關於「典範」映射的更多討論

7. 更高等數學中的典範同構

8. 總結與參考文獻

泛性質

我知道數學基礎有三類合理的體系：基於集合論的、基於類型論的，以及基於範疇論的。也有各種結果表明，廣義上講，這些基礎能夠證明相同的定理。然而，為了討論等式，我們必須確切地確定我們在談論什麼，因此我將選擇 ZFC 集合論和經典邏輯作為我們討論的基礎。1

做出這個決定的基礎很簡單，如果一個數學家曾經上過關於其學科邏輯基礎的課程（而許多人沒有），那麼這很可能是一堂集合論課。此外，純數學文獻是以表面上集合論的風格撰寫的：我們被告知群是具有某些結構和公理的集合，流形是具有不同結構和公理的集合，等等。在這裡，「集合」一詞只是「原子的集合」這一概念的佔位符。

顯然，兩個相等的集合具有相同的元素；這源於所謂的等式替換原則，該原則指出，如果 X 和 Y 是任何兩個相等的數學對象，那麼你在基礎系統中關於 X 的任何陳述對 Y 也成立。反之，具有相同元素的兩個集合是相等的，這被作為理論的一個公理。這確保了集合的抽象概念與我們對其所代表內容的心理模型相符：集合不多不少就是一個東西的集合。

現在我想開始討論唯一表徵數學對象的性質。讓我們從一個例子開始：兩個集合 X 和 Y 的積 X × Y。我現在要警告讀者，在接下來的幾段中，我將非常仔細地區分 X 和 Y 的積的概念，以及 X 和 Y 的一個積的概念。兩個集合的積 X × Y 被定義為有序對 (x, y) 的集合，其中 x ∈ X 且 y ∈ Y（可以使用集合論的公理檢查創建這個集合是可能的）。

請注意，在這裡我們遇到了與實數相同的問題：在集合論中有幾種不同的方式來定義有序對的概念。集合論設計得非常適合處理無序對：集合 {x, y} 和 {y, x} 具有相同的元素，因此是相等的，所以要定義有序對，需要使用某種技巧。

維基百科關於有序對的頁面 [Wik04b] 目前給出了三種不同的構造，分別歸功於 Wiener ({{{x}, ∅}, {{y}}}), Hausdorff ({{x, 1}, {y, 2}}) 和 Kurotowski ({{x}, {x, y}})；這些都有點人為的感覺。2 數學家們再次清楚地知道，這個問題在實踐中完全不重要：我們只需要知道有序對的定義性質，即 (x1, y1) = (x2, y2) ⇐⇒ x1 = x2 且 y1 = y2；這就是我們所需要的全部，而且所有定義都滿足這個性質。

積 X × Y 配備了兩個投影映射 π1 : X × Y → X 和 π2 : X × Y → Y。嚴格來說，不僅僅是積，而是三元組 (X × Y, π1, π2) 滿足以下泛性質：

積的泛性質：如果三元組 (P, π1 : P → X, π2 : P → Y) 滿足以下性質，則稱其為 X 和 Y 的一個積：如果 S 是任何集合，且 f : S → X 和 g : S → Y 是函數，則存在唯一的從 S 到 P 的函數，使得它與 π1 的複合是 f，與 π2 的複合是 g。

泛性質不是兩個集合的積的定義；它可以被視為積需要滿足的無限多個事實（對於每個集合 S 和函數 f 和 g 的選擇都有一個）。不難驗證，X 和 Y 的積 X × Y，配備自然投影，是一個積。但反過來卻不成立：通常有許多其他三元組 (P, π1, π2) 滿足作為積的性質，而不是那個積。

例如，如果 X = {37} 且 Y = {42}，則積 X × Y 是 {(37, 42)}，但實際上任何具有一個元素的集合 P，配備 π1 : P → X 將所有東西映射到 37 和 π2 : P → Y 將所有東西映射到 42，都滿足作為積的泛性質。特別是，一般來說，有不可數多的不同事物滿足作為積的性質。然而，數學家非常擅長識別這些不同的事物；它們在超越 = 符號正確用法的方式上是「相同的」。我們可以這樣做是因為泛對象的唯一性瑜伽。讓我們在積的情況下，通過這個瑜伽，這是一段形式範疇論的無意義內容。

假設 P1 和 P2 都是 X 和 Y 的一個積。將 P2 的泛性質的存在部分（及其到 X 和 Y 的投影）應用於集合 S = P1（及其到 X 和 Y 的投影）給我們一個函數 α : P1 → P2，與到 X 和 Y 的投影交換。在論證中交換 1 和 2，我們也可以構造一個函數 β : P2 → P1，與投影交換。此外，β ◦ α 是從 P1 到 P1 的映射，與投影交換，恆等函數也是如此；通過 P1 的泛性質的唯一性部分應用於 P1，我們推斷 β ◦ α 必須是 P1 上的恆等映射；同樣，α ◦ β 必須是 P2 上的恆等映射。

因此 α 和 β 是與投影映射交換的雙射。最後，使用 P2 的泛性質的唯一性部分應用於 P1 告訴我們，α 是從 P1 到 P2 的唯一與投影交換的映射，根據對稱性，β 是從 P2 到 P1 的唯一與投影交換的映射。這種抽象無意義的結果（從未提及任何集合的元素，只有對象和態射）是，在 P1 和 P2 之間存在唯一的相互逆雙射，它們與到因子 X 和

Y 的投影交換。特別是，如果 P 是 X 和 Y 的一個積，那麼它以與投影兼容的方式唯一同構於 X 和 Y 的積 X × Y。在我們的一元素例子中，X = {37} 和 Y = {42}，如果 P 是任何一元素集合，那麼從 P 到 X × Y 的唯一映射當然將該元素映射到 (37, 42)。

:::info 作者： KEVIN BUZZARD

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:::info 本論文可在 arxiv 上獲取，採用 CC BY 4.0 DEED 許可證。

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