Di Dalam Logika "Produk" dan Kesetaraan dalam Teori Himpunan

Tabel Tautan

Abstrak

1. Ucapan Terima Kasih & Pendahuluan

2. Sifat-sifat universal

3. Produk dalam praktik

4. Sifat-sifat universal dalam geometri aljabar

5. Masalah dengan penggunaan kesetaraan oleh Grothendieck

6. Lebih lanjut tentang pemetaan "kanonik"

7. Isomorfisme kanonik dalam matematika tingkat lanjut

8. Ringkasan Dan Referensi

Sifat-sifat Universal

Saya mengetahui tiga kelas dasar yang masuk akal untuk matematika: yang berdasarkan teori himpunan, yang berdasarkan teori tipe, dan yang berdasarkan teori kategori. Ada juga berbagai hasil yang menyatakan bahwa, secara umum, dasar-dasar ini mampu membuktikan teorema yang sama. Namun, untuk diskusi tentang kesetaraan, kita harus menentukan dengan tepat apa yang kita bicarakan, dan karena itu saya akan memilih teori himpunan ZFC dan logika klasik sebagai dasar untuk diskusi kita.1

Dasar keputusan ini sederhana: jika seorang matematikawan pernah mengikuti kelas tentang dasar-dasar logis dari subjek mereka (dan banyak dari mereka tidak), maka kemungkinan besar itu adalah kelas teori himpunan. Selain itu, literatur matematika murni ditulis dalam gaya teori himpunan secara dangkal: kita diberitahu bahwa grup adalah himpunan dengan beberapa struktur dan aksioma, manifold adalah himpunan dengan struktur dan aksioma yang berbeda, dan seterusnya. Di sini kata "himpunan" hanyalah pengganti untuk gagasan "kumpulan atom".

Jelas bahwa dua himpunan yang sama memiliki elemen yang sama; ini mengikuti dari apa yang disebut prinsip substitusi untuk kesetaraan, yang menyatakan bahwa jika X dan Y adalah dua objek matematika yang sama, maka klaim apa pun yang dapat Anda buat dalam sistem dasar Anda tentang X juga benar untuk Y. Kebalikannya, bahwa dua himpunan dengan elemen yang sama adalah sama, diberlakukan sebagai aksioma teori. Ini memastikan bahwa konsep abstrak himpunan bertepatan dengan model mental kita tentang apa yang diwakilinya: himpunan tidak lebih dan tidak kurang dari kumpulan barang.

Sekarang saya ingin memulai diskusi tentang sifat-sifat yang secara unik mencirikan objek matematika. Mari kita mulai dengan contoh: produk X × Y dari dua himpunan X dan Y. Izinkan saya memperingatkan pembaca sekarang bahwa dalam beberapa paragraf berikutnya saya akan membuat perbedaan yang sangat hati-hati antara konsep produk dari X dan Y, dan konsep sebuah produk dari X dan Y. Produk X × Y dari dua himpunan didefinisikan sebagai himpunan pasangan terurut (x, y) dengan x ∈ X dan y ∈ Y (seseorang dapat memeriksa menggunakan aksioma teori himpunan bahwa dimungkinkan untuk membuat himpunan ini).

Perhatikan bahwa di sini kita menghadapi masalah yang sama seperti yang kita lihat sebelumnya dengan bilangan real: ada beberapa cara berbeda untuk mendefinisikan konsep pasangan terurut dalam teori himpunan. Teori himpunan dirancang dengan sangat baik untuk bekerja dengan pasangan tidak terurut: himpunan {x, y} dan {y, x} memiliki elemen yang sama dan dengan demikian sama, jadi untuk mendefinisikan pasangan terurut seseorang perlu menggunakan semacam trik.

Halaman Wikipedia untuk pasangan terurut [Wik04b] saat ini memberikan tiga konstruksi berbeda, karena Wiener ({{{x}, ∅}, {{y}}}), Hausdorff ({{x, 1}, {y, 2}}) dan Kurotowski ({{x}, {x, y}}); semuanya terkesan sedikit dibuat-buat.2 Sekali lagi matematikawan sangat menyadari bahwa masalah ini sama sekali tidak penting dalam praktik: semua yang perlu kita ketahui adalah sifat pendefinisian pasangan terurut, yaitu bahwa (x1, y1) = (x2, y2) ⇐⇒ x1 = x2 dan y1 = y2; ini semua yang kita butuhkan, dan semua definisi memenuhi sifat ini.

Produk X × Y dilengkapi dengan dua peta proyeksi π1 : X × Y → X dan π2 : X × Y → Y. Secara ketat, bukan hanya produk, tetapi tripel (X × Y, π1, π2) yang memenuhi sifat universal berikut:

Sifat universal dari produk: Tripel (P, π1 : P → X, π2 : P → Y) disebut produk dari X dan Y jika memenuhi sifat berikut: jika S adalah himpunan apa pun, dan f : S → X dan g : S → Y adalah fungsi, maka ada fungsi unik dari S ke P sedemikian sehingga komposisinya dengan π1 adalah f dan komposisinya dengan π2 adalah g.

Sifat universal bukanlah definisi dari produk dua himpunan; ini dapat dianggap sebagai fakta tak terhingga banyaknya yang harus dipenuhi oleh produk (satu untuk setiap pilihan himpunan S dan fungsi f dan g). Tidak sulit untuk memverifikasi bahwa produk X × Y dari X dan Y, dilengkapi dengan proyeksi alami, adalah sebuah produk. Tetapi kebalikannya sama sekali tidak benar: biasanya ada banyak tripel lain (P, π1, π2) yang memenuhi sifat menjadi produk tanpa menjadi produk tersebut.

Misalnya, jika X = {37} dan Y = {42} maka produk X × Y adalah {(37, 42)}, tetapi sebenarnya setiap himpunan P dengan satu elemen, dilengkapi dengan π1 : P → X yang mengirimkan semuanya ke 37 dan π2 : P → Y yang mengirimkan semuanya ke 42, memenuhi sifat universal menjadi produk. Secara khusus, secara umum ada tak terhitung banyaknya hal berbeda yang memenuhi sifat menjadi produk. Namun matematikawan sangat pandai mengidentifikasi hal-hal yang berbeda ini; mereka "sama" dengan cara yang melampaui penggunaan simbol = yang benar. Kita dapat melakukannya karena yoga keunikan untuk objek universal. Mari kita bahas yoga ini, yang merupakan bagian dari omong kosong kategori-teoretis formal, dalam kasus produk.

Katakanlah P1 dan P2 keduanya adalah produk untuk X dan Y. Menerapkan bagian keberadaan dari sifat universal untuk P2 (dengan proyeksinya ke X dan Y) ke himpunan S = P1 (dengan proyeksinya ke X dan Y) memberi kita fungsi α : P1 → P2 yang komutatif dengan proyeksi ke X dan Y. Dengan menukar 1 dan 2 dalam argumen, kita juga dapat membangun fungsi β : P2 → P1 yang komutatif dengan proyeksi. Selain itu, β ◦ α adalah peta dari P1 ke P1 yang komutatif dengan proyeksi, seperti halnya fungsi identitas; dengan bagian keunikan dari sifat universal P1 yang diterapkan pada P1, kita menyimpulkan bahwa β ◦ α haruslah peta identitas pada P1; demikian pula, α ◦ β haruslah peta identitas pada P2.

Oleh karena itu α dan β adalah bijeksi yang komutatif dengan peta proyeksi. Akhirnya, menggunakan bagian keunikan dari sifat universal untuk P2 yang diterapkan pada P1 memberi tahu kita bahwa α adalah peta unik dari P1 ke P2 yang komutatif dengan proyeksi, dengan simetri β adalah peta unik dari P2 ke P1 yang komutatif dengan proyeksi. Hasil dari omong kosong abstrak ini (yang tidak pernah menyebutkan elemen dari himpunan mana pun, hanya objek dan morfisme) adalah bahwa ada bijeksi timbal balik unik antara P1 dan P2 yang komutatif dengan proyeksi ke faktor X dan

Y. Secara khusus, jika P adalah produk dari X dan Y maka secara unik isomorfik dengan produk X × Y dari X dan Y dengan cara yang kompatibel dengan proyeksi. Dalam contoh satu elemen kita X = {37} dan Y = {42}, jika P adalah himpunan satu elemen maka peta unik dari P ke X × Y tentu saja mengirimkan elemen tersebut ke (37, 42).

:::info Penulis: KEVIN BUZZARD

:::

:::info Makalah ini tersedia di arxiv di bawah lisensi CC BY 4.0 DEED.

:::

\